畢業(yè)論文向量組線性關(guān)系（討論向量組的線性相關(guān)性的解題步驟）
本文目錄一覽：
- 1、線性相關(guān)與線性無關(guān)的關(guān)系是什么?
- 2、美國數(shù)學(xué)競賽amc8評價
- 3、兩個向量組可以互相線性表示嗎?
- 4、線性相關(guān)與向量組的線性無關(guān)的關(guān)系是什么
線性相關(guān)與線性無關(guān)的關(guān)系是什么?
向量組線性相關(guān)一定可以線性表出，線性無關(guān)一定可以線性表出。因為向量組a，b，＆線性相關(guān)可以推出＆一定可以由a，b線性表出＆＝u*a+v*b。寫成＆＝u*a+v*b+0*r。就是可以由a，b，r線性表出。注意：對于任一向量組而言，不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的。
線性相關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中有一個或者多個量可以被其余量表示。線性無關(guān)，就是在一組數(shù)據(jù)中沒有一個量可以被其余量表示。從維數(shù)空間上講，例如，一個三維空間，那么必須用三個線性無關(guān)的向量來表示，如果在加上另外一個向量，那么這個向量必然可以由上述三個向量唯一的線性表出。
由線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義可知：向量組a1，a2，...，ar的線性相關(guān)性歸結(jié)為齊次線性方程組Ax=0的解的情形，其中A＝(a1，a2，...，ar)。若方程組只有零解，向量組線性無關(guān)；若方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)。
原因：線性相關(guān)就是各行或列能互相線性表示，能進行初等變換，把某一行或列變換到另一行或列，最后有一行會全為0，計算時行列式就等于0。所以行列式等于0就是線性相關(guān)。相反的，線性無關(guān)它的行列式不等于0，說明是滿秩，沒有一行或一列全為0。沒有具體的定理。
線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義：一個向量組如果可以通過組內(nèi)向量的線性組合得到零向量，且僅當(dāng)所有系數(shù)均為零時，該向量組稱為線性無關(guān)的。如果存在不全為零的系數(shù)使得線性組合為零，則該向量組是線性相關(guān)的。
美國數(shù)學(xué)競賽amc8評價
1、AMC 8數(shù)學(xué)競賽在全球范圍內(nèi)具有較高的認(rèn)可度，大約有5%的參賽者能夠達到前段水平。這一成績標(biāo)準(zhǔn)表明，AMC 8的成就對于參與其中的學(xué)生來說是一項顯著的成就。AMC 8的難度相當(dāng)于中國的數(shù)學(xué)“希望杯”比賽，針對的是8年級以下的學(xué)生，且參賽者年齡需小于15周歲。
2、AMC8競賽含金量高，認(rèn)可度高，國際通用性強，對低齡學(xué)生來說是展示數(shù)學(xué)天賦的途徑，也是優(yōu)質(zhì)國際學(xué)校選拔學(xué)生的依據(jù)，能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并為后續(xù)晉級賽打下基礎(chǔ)。AMC8競賽含金量表現(xiàn)在： 私校申請優(yōu)勢：AMC8證書和獎項對私校申請有極大幫助，尤其是Achievement Roll獎項，獲獎幾率高。
3、AMC8相當(dāng)于國內(nèi)數(shù)學(xué)什么水平？AMC8數(shù)學(xué)競賽在國際上享有高認(rèn)可度，面向八年級以下學(xué)生，類似于國內(nèi)小學(xué)杯賽，相當(dāng)于小學(xué)奧數(shù)五年級的水平。競賽內(nèi)容涵蓋中學(xué)數(shù)學(xué)課程主題，包括計數(shù)與概率、比例推理、幾何、函數(shù)、方程、坐標(biāo)幾何等。
4、amc8數(shù)學(xué)競賽在國際上擁有超高認(rèn)可度，是全美幾乎所有中學(xué)優(yōu)先推薦的主要活動之一。AMC可以說是美國數(shù)學(xué)的人才備用庫，為各大名校申請者的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績提供了一定的參考和評估。AMC8的獎項對于申請美國初中與美國高中起到了至關(guān)重要的作用，是學(xué)術(shù)能力證明。
5、AMC8數(shù)學(xué)競賽由美國數(shù)學(xué)競賽協(xié)會主辦，是一項具有權(quán)威性和廣泛認(rèn)可度的競賽。該競賽的獲獎?wù)咄趯W(xué)術(shù)上表現(xiàn)出色，備受頂尖學(xué)府和學(xué)術(shù)界的關(guān)注。 競賽的挑戰(zhàn)性和難度 AMC8數(shù)學(xué)競賽的題目設(shè)計具有一定的挑戰(zhàn)性和難度，需要學(xué)生掌握扎實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，并具備靈活應(yīng)用知識解決問題的能力。
6、Amc8數(shù)學(xué)競賽國際認(rèn)可度高，是全美幾乎所有中學(xué)優(yōu)先推薦的考試之一，是各大名校申請需要提供參考的考試，獎項對申請美國初高中起到非常關(guān)鍵的作用，是孩子學(xué)習(xí)能力的證明。
兩個向量組可以互相線性表示嗎?
兩個向量組可以互相線性表示：等價向量組具有傳遞性、對稱性及反身性。但向量個數(shù)可以不一樣，線性相關(guān)性也可以不一樣。任一向量組和它的極大無關(guān)組等價。向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價。兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同。
向量組等價是指兩個向量組可以互相線性表示。也就是說，如果存在兩個向量組A和B，對于A中的任意一個向量，都可以用B中的向量進行線性組合表示，同時B中的任意一個向量也可以用A中的向量進行線性組合表示，那么我們說這兩個向量組是等價的。
兩個向量組可以互相線性表出，即是第一個向量組中的每個向量都能表示成第二個向量組的向量的線性組合，且第二個向量組中的每個向量都能表示成第一二個向量組的向量的線性組合。向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。
向量組等價的基本判定是：兩個向量組可以互相線性表示。需要重點強調(diào)的是：等價的向量組的秩相等，但是秩相等的向量組不一定等價。向量組A：a1，a2，…am與向量組B：b1，b2，…bn的等價秩相等條件是 R（A）=R（B）=R（A，B），其中A和B是向量組A和B所構(gòu)成的矩陣。
等價向量組具有傳遞性、對稱性和反身性，但向量個數(shù)與線性相關(guān)性不一定相同。任何向量組與其極大無關(guān)組等價，同樣，兩個極大無關(guān)組之間也等價。兩個等價的線性無關(guān)向量組所含向量數(shù)量相同。等價向量組的秩相同，但秩相等的向量組并不一定等價。簡而言之，兩個向量組若能互相線性表示，則稱它們等價。
線性相關(guān)與向量組的線性無關(guān)的關(guān)系是什么
向量組線性相關(guān)一定可以線性表出，線性無關(guān)一定可以線性表出。因為向量組a，b，＆線性相關(guān)可以推出＆一定可以由a，b線性表出＆＝u*a+v*b。寫成＆＝u*a+v*b+0*r。就是可以由a，b，r線性表出。注意：對于任一向量組而言，不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的。
由線性相關(guān)與線性無關(guān)的定義可知：向量組a1，a2，...，ar的線性相關(guān)性歸結(jié)為齊次線性方程組Ax=0的解的情形，其中A＝(a1，a2，...，ar)。若方程組只有零解，向量組線性無關(guān)；若方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)。
不是線性無關(guān)的就是線性相關(guān)的；向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說A線性相關(guān)； 若a≠0， 則說A線性無關(guān)。若向量組所包含向量個數(shù)等于分量個數(shù)時，判定向量組是否線性相關(guān)即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關(guān)；否則是線性無關(guān)的。
而向量組線性無關(guān)的定義是向量組中沒有向量可以用其它有限個向量線性組合表示，則成為無關(guān)。因此在向量組中并不要求任何兩個向量之間都線性相關(guān)。比如向量組：（1，1，1），（1，0，1），（2，1，2），三個向量并不是線性兩兩線性相關(guān)，但是該組向量，線性相關(guān)。
線性相關(guān)與線性無關(guān)性是向量組中的重要概念。簡單來說，線性相關(guān)意味著向量組中存在某種關(guān)系，而線性無關(guān)則表示向量組中的向量之間沒有這種關(guān)系。向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)性可通過加法與數(shù)乘這兩個運算來實現(xiàn)，體現(xiàn)了線性意義下的關(guān)系。
定義法 令向量組的線性組合為零（零向量），研究系數(shù)的取值情況，線性組合為零當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)皆為零，則該向量組線性無關(guān)；若存在不全為零的系數(shù)，使得線性組合為零，則該向量組線性相關(guān)。